Peluang, Permutasi dan Kombinasi Matematika

1) Permutasi Permutasi adalah susunan unsur-unsur yang berbeda dalam urutan tertentu. Pada permutasi urutan diperhatikan sehingga

Permutasi k unsur dari n unsur

adalah semua urutan yang berbeda yang mungkin dari k unsur yang diambil dari n unsur yang berbeda. Banyak permutasi k unsur dari n unsur ditulis

atau

Permutasi siklis (melingkar) dari n unsur adalah (n-1) !
Cara cepat mengerjakan soal permutasi dengan penulisan nPk, hitung 10P4 kita langsung tulis 4 angka dari 10 mundur, yaitu 10.9.8.7
jadi 10P4 = 10x9x8x7 berapa itu? hitung sendiri :)

Contoh permutasi siklis : Suatu keluarga yang terdiri atas 6 orang duduk mengelilingi sebuah meja makan yang berbentuk lingkaran. Berapa banyak cara agar mereka dapat duduk mengelilingi meja makan dengan cara yang berbeda?
Jawab : Banyaknya cara agar 6 orang dapat duduk mengelilingi meja makan dengan urutan yang berbeda sama dengan banyak permutasi siklis (melingkar) 6 unsur yaitu :

2) Kombinasi Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan urutannya. Pada kombinasi AB = BA. Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat disusun himpunan bagiannya dengan untuk

Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan dengan ,

Contoh : Diketahui himpunan

Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur! Jawab :

Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6, 2).

Cara cepat mengerjakan soal kombinasi dengan penulisan nCk, hitung 10C4 kita langsung tulis 4 angka dari 10 mundur lalu dibagi 4!, yaitu 10.9.8.7 dibagi 4.3.2.1
jadi 10C4 = 10x9x8x7 / 4x3x2x1 berapa itu? hitung sendiri :)
jika ditanya 10C6 maka sama dengan 10C4, ingat 10C6=10C4.
contoh lainnya 20C5=20C15 3C2=3C1 100C97=100C3 melihat polanya?


Peluang Matematika

1. Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian
Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari suatu percobaan disebut ruang sampel. Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel. Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S.

Contoh:
Diberikan percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali, yang masing-masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ). Jika P adalah kejadian muncul dua angka, tentukan S, P (kejadian)!
Jawab :
S = { AAA, AAG, AGA, GAA, GAG, AGG, GGA, GGG}
P = {AAG, AGA, GAA}


2. Pengertian Peluang Suatu Kejadian
Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing berkesempatan sama untuk muncul. Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A, maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan dengan rumus :

Contoh : Pada percobaan pelemparan sebuah dadu, tentukanlah peluang percobaan kejadian muncul bilangan genap! Jawab : S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} maka n ( S ) = 6 Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap, maka: A = {2, 4, 6} dan n ( A ) = 3

3. Kisaran Nilai Peluang Matematika Misalkan A adalah sebarang kejadian pada ruang sampel S dengan n ( S ) = n, n ( A ) = k dan

Jadi, peluang suatu kejadian terletak pada interval tertutup [0,1]. Suatu kejadian yang peluangnya nol dinamakan kejadian mustahil dan kejadian yang peluangnya 1 dinamakan kejadian pasti. 4. Frekuensi Harapan Suatu Kejadian Jika A adalah suatu kejadian pada frekuensi ruang sampel S dengan peluang P ( A ), maka frekuensi harapan kejadian A dari n kali percobaan adalah n x P( A ). Contoh : Bila sebuah dadu dilempar 720 kali, berapakah frekuensi harapan dari munculnya mata dadu 1? Jawab : Pada pelemparan dadu 1 kali, S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } maka n (S) = 6. Misalkan A adalah kejadian munculnya mata dadu 1, maka: A = { 1 } dan n ( A ) sehingga :

Frekuensi harapan munculnya mata dadu 1 adalah

5. Peluang Komplemen Suatu Kejadian Misalkan S adalah ruang sampel dengan n ( S ) = n, A adalah kejadian pada ruang sampel S, dengan n ( A ) = k dan Ac adalah komplemen kejadian A, maka nilai n (Ac) = n – k, sehingga :

Jadi, jika peluang hasil dari suatu percobaan adalah P, maka peluang hasil itu tidak terjadi adalah (1 – P).